աղբյուրը

Бесконечность математики: что такое фракталы и как они устроены

Фракталы известны уже век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования. Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? На первый взгляд может показаться, что все эти объекты ничто не объединяет. Однако на самом деле существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. В этом они похожи на одни из самых красивых математических объектов — фракталы. Подобным же образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

Թարգմանությունը՝

Մաթեմատիկայի անսահմանությունը․ինչ են ֆրակտալները և ինչպես են դրանք կառուցված

Արդեն մի դար է ինչ ֆրակտալները հայտնի են, լավ ուսումնասիրված են և ունեն կյանքում բազմաթիվ դրսևորումներ։ Սակայն այդ երևույթի հիմքում ընկած է շատ պարզ գաղափար․ իրենց գեղեցկությամբ և բազմազանությամբ անսահման քանակության մարմիններ կարելի է ստանալ համեմատաբար պարզ կառուցվածքներից՝ կիրառելով ընդամենը երկու գործողություն՝ կրկնօրինակում և մաշտաբավորում։ Ի՞նչ ընդհանրություն ծառի, ծովափի, ամպի, կամ մեր ձեռքի արյունատար անոթների մեջ։ Առաջին հայացքից կթվա, որ բոլոր այդ օբյեկտները ոչինչ չի միավորում։ Սակայն իրականում կա կառուցվածքային մի հատկություն՝ բնորոշ բոլոր թվարկածներին, դրանք ինքնակերպ են։ Ճյուղից՝ ինչպես և ծառի բնից բաժանվում են ավելի բարակ շիվեր, իսկ դրանցից՝ ավելի բարակները և այլն, այսինք մի ճյուղը նմանվում է ողջ ծառին։ Դրանով դրանք նման են մաթեմատիկական ամենագեղեցիկ օբյեկներին՝ ֆրակտալներին։ Նման կերպ է կառուցված արյունատար համակարգը՝ զարկերակնեից բաժանվում են ավելի բարակ երակները, իսկ դրանցից ամենաբարակ մազանոթները, որոնցով թթվածինը մատակարարվում է օրգաններ և հյուսվածքներ։ Դիտենք տիեզերքից արված ծովափի նկարները․ մենք կտեսնենք ծոցեր և թերակղզիներ, ապա դիտենք նույն վայրը, բայց այս անգամ թռչնի թռիչքի բարձրությունից․ մեզ տեսանելի կլինեն ծովախորշեր ու հրվանդաններ, իսկ հիմա պատկերացնենք, որ կանգնած ենք ծովափին և նայում ենք ոտքերի տակ․ միշտ էլ կգտնվեն մանր քարեր, որոնք մյուսներից ավելի խորն են տարածվում ջրի մեջ։ Օբյեկտների այս հատկությունը ամերիկացի մաթեմատիկոս Բենուա Մանդելբրոտը անվանեց ֆրակտալություն, իսկ օբյեկտներն ինքնին՝ ֆրակտալներ (լատիներեն fractus — ջարդջրդված բառից)։